Calculer le PGCD et le PPCM
Le PGCD de plusieurs nombres entiers est le plus grand nombre qui les divise tous ; leur PPCM est le plus petit nombre non nul qui est un multiple de chacun.
PGCD et PPCM : l’outil
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L’algorithme d’Euclide, à la main
- Divise le plus grand nombre par le plus petit et note le reste.
- Recommence en divisant le diviseur précédent par ce reste.
- Continue jusqu’à obtenir un reste nul.
- Le PGCD est le dernier reste non nul.
- Pour le PPCM de deux nombres, multiplie-les entre eux et divise par leur PGCD.
Exemple
Pour 48 et 18 : 48 = 18 × 2 + 12, puis 18 = 12 × 1 + 6, puis 12 = 6 × 2 + 0. Le dernier reste non nul est 6, donc PGCD(48 ; 18) = 6. Le PPCM vaut 48 × 18 ÷ 6 = 144.
En quelle classe ?
Les diviseurs communs et les fractions irréductibles sont au programme de 3e, où le PGCD sert à simplifier une fraction en une seule fois. L’algorithme d’Euclide est souvent présenté dès le collège ; il est étudié pour lui-même au lycée, en arithmétique.
S’entraîner avec un jeu
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Questions fréquentes
À quoi sert le PGCD ?
Le PGCD sert à simplifier une fraction d’un seul coup et à résoudre les problèmes de partage équitable : faire le plus grand nombre de lots identiques avec 48 billes rouges et 18 billes bleues, par exemple.
À quoi sert le PPCM ?
Le PPCM sert à trouver un dénominateur commun à deux fractions, et à résoudre les problèmes de coïncidence : deux bus qui passent toutes les 12 et 18 minutes repassent ensemble toutes les 36 minutes.
Que veut dire « premiers entre eux » ?
Deux nombres sont premiers entre eux quand leur PGCD vaut 1. Ils n’ont alors aucun diviseur commun autre que 1, même s’ils ne sont pas premiers : 8 et 15 sont premiers entre eux.
Quel lien entre le PGCD et le PPCM de deux nombres ?
Le produit de deux nombres est égal au produit de leur PGCD par leur PPCM : a × b = PGCD(a ; b) × PPCM(a ; b). Cette égalité ne vaut que pour deux nombres.