Développer ou factoriser une expression
Développer, c’est transformer un produit en somme : k(a + b) = ka + kb. Factoriser, c’est l’opération inverse : transformer une somme en produit, en mettant en évidence un facteur commun.
Développer et factoriser : l’outil
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Les règles du calcul littéral
- Distributivité simple : k(a + b) = ka + kb. Le facteur multiplie chaque terme de la parenthèse.
- Double distributivité : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd. Chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde.
- Identités remarquables : (a + b)² = a² + 2ab + b² ; (a − b)² = a² − 2ab + b² ; (a + b)(a − b) = a² − b².
- Pour factoriser, cherche d’abord un facteur commun à tous les termes, puis reconnais une identité remarquable.
- Vérifie une factorisation en la développant : tu dois retrouver l’expression de départ.
Exemple
Pour développer 3(2x − 5), on multiplie chaque terme par 3 : 3 × 2x − 3 × 5 = 6x − 15. Pour factoriser 6x − 15, on fait le chemin inverse : 3 est le plus grand diviseur commun de 6 et 15, donc 6x − 15 = 3(2x − 5).
En quelle classe ?
La distributivité simple se découvre en 5e et sert à développer et à factoriser en 4e. La double distributivité et la factorisation de a² − b² sont au programme de 3e. Les carrés d’une somme et d’une différence sont étudiés en seconde.
S’entraîner avec un jeu
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Questions fréquentes
Quelle différence entre développer et réduire ?
Développer supprime les parenthèses en effectuant les produits. Réduire regroupe ensuite les termes de même nature : les x² ensemble, les x ensemble, les nombres ensemble.
Pourquoi (a + b)² n’est-il pas égal à a² + b² ?
Parce que (a + b)² = (a + b)(a + b), et la double distributivité fait apparaître deux fois le produit ab. On obtient a² + 2ab + b². Avec des nombres : (3 + 2)² = 25, alors que 3² + 2² = 13.
Comment trouver le facteur commun ?
On cherche le plus grand nombre qui divise tous les coefficients, et la lettre présente dans tous les termes. Dans 6x² + 9x, les coefficients sont divisibles par 3 et chaque terme contient x : le facteur commun est 3x.
À quoi sert de factoriser ?
Factoriser permet de résoudre une équation produit nul, de simplifier une fraction et de calculer plus vite : 99² − 1 = (99 + 1)(99 − 1) = 100 × 98 = 9 800.