Résoudre une équation du second degré
Une équation du second degré s’écrit ax² + bx + c = 0, avec a différent de 0. Son nombre de solutions réelles dépend du signe du discriminant Δ = b² − 4ac : deux si Δ est positif, une seule si Δ est nul, aucune si Δ est négatif.
Équation du second degré : l’outil
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Comment résoudre ax² + bx + c = 0
- Mets l’équation sous la forme ax² + bx + c = 0 et relève les coefficients a, b et c, avec leur signe.
- Calcule le discriminant : Δ = b² − 4ac.
- Si Δ est strictement positif, il y a deux solutions : x₁ = (−b − √Δ)/(2a) et x₂ = (−b + √Δ)/(2a).
- Si Δ est nul, il y a une seule solution : x₀ = −b/(2a).
- Si Δ est strictement négatif, l’équation n’a pas de solution réelle.
Exemple
Pour x² − 3x + 2 = 0, on a a = 1, b = −3 et c = 2. Le discriminant vaut (−3)² − 4 × 1 × 2 = 9 − 8 = 1. Il est positif : x₁ = (3 − 1)/2 = 1 et x₂ = (3 + 1)/2 = 2.
En quelle classe ?
Le discriminant et la résolution de l’équation du second degré sont au programme de la classe de première, en spécialité mathématiques et dans la voie technologique. En 3e et en seconde, on ne résout que les équations qui se factorisent, à l’aide de l’équation produit nul.
S’entraîner avec un jeu
- Développer et factoriser avec k(a + b) Mathématiques · 5e
- Premières équations Mathématiques · 5e
- Résoudre une équation du premier degré Mathématiques · 4e
- Mettre un problème en équation Mathématiques · 4e
- Développer : simple et double distributivité Mathématiques · 3e
Questions fréquentes
Que signifie un discriminant négatif ?
Un discriminant négatif signifie que l’équation n’a aucune solution réelle. Sur le graphique, la parabole ne coupe pas l’axe des abscisses : elle reste entièrement au-dessus ou entièrement en dessous.
Qu’est-ce que la forme canonique ?
La forme canonique est l’écriture a(x − α)² + β, où α = −b/(2a) et β = −Δ/(4a). Elle donne directement le sommet de la parabole, de coordonnées (α ; β).
Comment vérifier ses solutions ?
On remplace x par chaque solution dans l’équation de départ : le résultat doit être 0. On peut aussi contrôler que la somme des deux solutions vaut −b/a et que leur produit vaut c/a.
Faut-il toujours calculer le discriminant ?
Non. Si l’équation se factorise à vue, ou s’il manque le terme en x ou le terme constant, une factorisation est plus rapide : x² − 9 = 0 donne (x − 3)(x + 3) = 0, donc x = 3 ou x = −3.